Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x^{2} + 2 x^{4} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$2 u^{2} - u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (15)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ .

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Schritt 2.10.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.10.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Schritt 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ .

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Schritt 2.12.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.12.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.12.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 2.13

Die Lösung von $2 x^{4} - x^{2} + 2 = 0$ ist $x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 2.49057894, 2.49057894]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $[- 2.49057894, 2.49057894], {y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Schritt 6