Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{3} - 2 x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{3} - 2 x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} - 2 x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{2} x - 2 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 2$ heraus.

$x^{2} (x - 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, 2}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{1}{4})$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y < \frac{1}{4}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty), {x | x \neq 0, 2}$

Wertebereich: $(- \infty, \frac{1}{4}), {y | y < \frac{1}{4}}$

Schritt 6