Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{\ln (e^{- x})}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (e^{- x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$e^{- x} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) > \ln (0)$

Schritt 2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} > 0$

Keine Lösung

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\ln (e^{- x})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (e^{- x}) \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (e^{- x}) = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $\ln (e^{- x})$ aus.

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Schritt 4.2.1.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (e)$

Schritt 4.2.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- x \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x$

Schritt 4.2.2

Die ausmultiplizierte Gleichung ist $- x = 0$ .

$- x = 0$

Schritt 4.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 4.3

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 0$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 0}$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq 0}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, 0], {x | x \leq 0}$

Wertebereich: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Schritt 8