Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{6 x + 9}{x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{6 x + 9}{x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + 6 x^{3} + 9 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + 9 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 9 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x)$ heraus.

$x^{2} (x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 9 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 9$ heraus.

$x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, - 3}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty), {x | x \neq 0, - 3}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6