Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$ um.

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 - x = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8 x + 180$ und $c = x^{2} + 46 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 8 x + 180) \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe ${(- 8 x + 180)}^{2}$ als $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ um.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.2

Multipliziere $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $180$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $180$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5.3.2

Subtrahiere $1440 x$ von $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 2880 x$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $32400$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.8.1.1

Mutltipliziere $x^{2} + 46 - x$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.1.3.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.1.8.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.3

Addiere $- 720 x$ und $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.4

Subtrahiere $46$ von $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

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Schritt 6.1.5.1

Schreibe ${(- 8 x + 180)}^{2}$ als $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ um.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.2

Multipliziere $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $180$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $180$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5.3.2

Subtrahiere $1440 x$ von $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 2880 x$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $32400$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Vereinfache.

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Schritt 6.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.8.1.1

Mutltipliziere $x^{2} + 46 - x$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.8.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.1.3.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.1.8.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.3

Addiere $- 720 x$ und $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.4

Subtrahiere $46$ von $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ und $2$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x) - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 180$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (- 90)$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 6.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Schritt 6.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Schritt 6.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Schritt 6.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Schritt 6.4.6.4

Dividiere $4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ durch $1$ .

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

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Schritt 7.1.5.1

Schreibe ${(- 8 x + 180)}^{2}$ als $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ um.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.2

Multipliziere $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $180$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $180$ mit $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5.3.2

Subtrahiere $1440 x$ von $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 2880 x$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $32400$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Vereinfache.

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Schritt 7.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.8.1.1

Mutltipliziere $x^{2} + 46 - x$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.8.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.1.3.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 7.1.8.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.1.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.3

Addiere $- 720 x$ und $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.4

Subtrahiere $46$ von $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ und $2$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x) - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 180$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (- 90)$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90) - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Schritt 7.4.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Schritt 7.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Schritt 7.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Schritt 7.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Schritt 7.4.6.4

Dividiere $4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ durch $1$ .

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Schritt 9

Setze den Radikanden in $\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 \geq 0$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 = 0$

Schritt 10.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.3

Setze die Werte $a = 15$ , $b = - 719$ und $c = 8054$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{719 \pm \sqrt{{(- 719)}^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 8054)}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1.1

Potenziere $- 719$ mit $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Schritt 10.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.4.1.3

Subtrahiere $483240$ von $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1.1

Potenziere $- 719$ mit $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Schritt 10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.5.1.3

Subtrahiere $483240$ von $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 10.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1.1

Potenziere $- 719$ mit $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Schritt 10.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.6.1.3

Subtrahiere $483240$ von $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Schritt 10.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 10.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 10.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 10.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 10.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$15 {(0)}^{2} - 719 \cdot 0 + 8054 \geq 0$

Schritt 10.9.1.3

Die linke Seite $8054$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 20$

Schritt 10.9.2.2

Ersetze $x$ durch $20$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$15 {(20)}^{2} - 719 \cdot 20 + 8054 \geq 0$

Schritt 10.9.2.3

Die linke Seite $- 326$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 33$

Schritt 10.9.3.2

Ersetze $x$ durch $33$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$15 {(33)}^{2} - 719 \cdot 33 + 8054 \geq 0$

Schritt 10.9.3.3

Die linke Seite $662$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Wahr

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falsch

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Wahr

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Wahr

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Falsch

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Wahr

Schritt 10.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ oder $x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Schritt 11

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Schritt 12

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Wertebereich: $(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Schritt 14