Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 y - 1))$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1)) = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (2 y - 1)$ .

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2 y - 1) = 2 x$

Schritt 3.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (2 y - 1)} = e^{2 x}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (2 y - 1) = 2 x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 x} = 2 y - 1$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $2 y - 1 = e^{2 x}$ um.

$2 y - 1 = e^{2 x}$

Schritt 3.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = e^{2 x} + 1$

Schritt 3.6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = e^{2 x} + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = e^{2 x} + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))} + 1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache $\frac{1}{2} (\ln (2 x - 1))$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache $2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{\ln ({({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{(2 x - 1) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1))$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 0)$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $e^{2 x}$ und $0$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x})$

Schritt 5.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2 x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \ln (e))$

Schritt 5.3.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Schritt 5.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$