Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (11 x^{2} + 6)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (11 x^{2} + 6)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$11 x^{2} + 6 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$11 x^{2} > - 6$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $11 x^{2} > - 6$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x^{2} > - 6$ durch $11$ .

$\frac{11 x^{2}}{11} > \frac{- 6}{11}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x^{2}}{11} > \frac{- 6}{11}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 6}{11}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} > - \frac{6}{11}$

Schritt 2.3

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\ln (6), \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq \ln (6)}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $[\ln (6), \infty), {y | y \geq \ln (6)}$

Schritt 6