Analysis Beispiele

$g (x) = \sqrt{\ln (x - 1)}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (x - 1)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - 1 > 0$

Schritt 2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 1$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\ln (x - 1)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (x - 1) \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (x - 1) = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x - 1)} = e^{0}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\ln (x - 1) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 1$

Schritt 4.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x - 1 = e^{0}$ um.

$x - 1 = e^{0}$

Schritt 4.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 1 = 1$

Schritt 4.2.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + 1$

Schritt 4.2.3.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 2$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (x - 1)$ .

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Schritt 4.3.1

Setze das Argument in $\ln (x - 1)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - 1 > 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 1$

Schritt 4.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(1, \infty)$

Schritt 4.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 2}$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq 0}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[2, \infty), {x | x \geq 2}$

Wertebereich: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Schritt 8