Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{36 x^{2} + 7}}{9 x + 4}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{36 x^{2} + 7}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$36 x^{2} + 7 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$36 x^{2} \geq - 7$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $36 x^{2} \geq - 7$ durch $36$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $36 x^{2} \geq - 7$ durch $36$ .

$\frac{36 x^{2}}{36} \geq \frac{- 7}{36}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 x^{2}}{36} \geq \frac{- 7}{36}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 7}{36}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \geq - \frac{7}{36}$

Schritt 2.3

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{36 x^{2} + 7}}{9 x + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 x + 4 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = - 4$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 4$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 4$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 4}{9}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 4}{9}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{9}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{9}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{4}{9}) \cup (- \frac{4}{9}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - \frac{4}{9}}$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup [\frac{2 \sqrt{889}}{127}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y < - \frac{2}{3}, y \geq \frac{2 \sqrt{889}}{127}}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - \frac{4}{9}) \cup (- \frac{4}{9}, \infty), {x | x \neq - \frac{4}{9}}$

Wertebereich: $(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup [\frac{2 \sqrt{889}}{127}, \infty), {y | y < - \frac{2}{3}, y \geq \frac{2 \sqrt{889}}{127}}$

Schritt 8