Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + 1$ , $- 1 < x < 2$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + x]_{- 1}^{2})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ und $x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{- 1}^{2})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + x$ bei $2$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.6.2

Addiere $8$ und $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 - 1))$

Schritt 8.2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{- 1}{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1))$

Schritt 8.2.2.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}))$

Schritt 8.2.2.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}))$

Schritt 8.2.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})$

Schritt 8.2.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 3}{3})$

Schritt 8.2.2.13.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 4}{3})$

Schritt 8.2.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

Schritt 8.2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + 1 (\frac{4}{3}))$

Schritt 8.2.2.16

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

Schritt 8.2.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14 + 4}{3})$

Schritt 8.2.2.18

Addiere $14$ und $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{3})$

Schritt 8.2.2.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3})$

Schritt 8.2.2.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.19.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 (1)})$

Schritt 8.2.2.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.2.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6}{1})$

Schritt 8.2.2.19.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6)$

Schritt 9

Addiere $2$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 6$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 2$

Schritt 11