Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2}$ , $[7, 9]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[7, 9]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\int_{7}^{9} x^{2} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{1}{3} x^{3}]_{7}^{9})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $9$ und $7$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} ((\frac{1}{3} \cdot 9^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{1}{3} \cdot 729 - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{729}{3} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $729$ und $3$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{243}{1} - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2.3.2.4

Dividiere $243$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - \frac{1}{3} \cdot 7^{3})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - \frac{1}{3} \cdot 343)$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $343$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - 343 (\frac{1}{3}))$

Schritt 6.2.6

Kombiniere $- 343$ und $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 + \frac{- 343}{3})$

Schritt 6.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 - \frac{343}{3})$

Schritt 6.2.8

Um $243$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (243 \cdot \frac{3}{3} - \frac{343}{3})$

Schritt 6.2.9

Kombiniere $243$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{243 \cdot 3}{3} - \frac{343}{3})$

Schritt 6.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{243 \cdot 3 - 343}{3})$

Schritt 6.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.11.1

Mutltipliziere $243$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{729 - 343}{3})$

Schritt 6.2.11.2

Subtrahiere $343$ von $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 7} (\frac{386}{3})$

Schritt 7

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{386}{3}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $386$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (193)}{3}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 193}{3}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{193}{3}$

Schritt 9