Analysis Beispiele

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $p (x)$ stetig auf $[0, 10]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $- x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Schritt 1.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 72$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $72$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $5176$ als $2^{2} \cdot 1294$ um.

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Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $5176$ heraus.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $72$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $8$ von $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $5176$ als $2^{2} \cdot 1294$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $5176$ heraus.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.6.5

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{1294}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

Schritt 1.2.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

Schritt 1.2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $72$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.3

Subtrahiere $8$ von $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $5176$ als $2^{2} \cdot 1294$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $5176$ heraus.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.7.5

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{1294}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

Schritt 1.2.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

Schritt 1.2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 38$

Schritt 1.2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 38$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

Schritt 1.2.10.1.3

Die linke Seite $153$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 1.2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

Schritt 1.2.10.2.3

Die linke Seite $- 197$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

Schritt 1.2.10.3.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Wahr

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falsch

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Wahr

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Wahr

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Falsch

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Wahr

Schritt 1.2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ oder $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Schritt 2

$p (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 10]$ .

$p (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $p$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Schritt 5.2

Addiere $10$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Addiere $- x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

Schritt 7