Analysis Beispiele

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $g (x)$ stetig auf $[0, 2]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + x^{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + x^{3} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{3} \geq - 1$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Schritt 1.2.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.7

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Löse $x^{2} - x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq - 1$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 1}$

Intervallschreibweise:

$[- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 1}$

Schritt 2

$g (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ .

$g (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $g$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

Schritt 5

Sei $u = 1 + x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 + x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Schritt 5.1.5

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{3}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{3}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Schritt 5.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

Schritt 6

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 10.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.7.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Schritt 10.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

Schritt 10.2.10

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

Schritt 10.2.11

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

Schritt 10.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

Schritt 10.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.13.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

Schritt 10.2.13.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

Schritt 10.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{52}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

Schritt 10.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

Schritt 11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

Schritt 11.2

Addiere $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $52$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{26}{9}$

Schritt 13