Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 3$ , $- 1 < x < 2$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} + 5 x + 3 d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Schritt 9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Schritt 13.3

Berechne $3 x$ bei $2$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8 + 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.7

Addiere $8$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{9}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 13.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3}{1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \cdot 3 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 13.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.11.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.13

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.14

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.16.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.16.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{3}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.17

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{5 \cdot 3}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.18

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.19

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.20

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.22.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{12 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.22.2

Addiere $12$ und $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.23

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 - 3 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.24

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 + 3)$

Schritt 13.4.25

Addiere $6$ und $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9)$

Schritt 13.4.26

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 13.4.27

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2})$

Schritt 13.4.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 9 \cdot 2}{2})$

Schritt 13.4.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.29.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 18}{2})$

Schritt 13.4.29.2

Addiere $27$ und $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{45}{2})$

Schritt 14

Addiere $2$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{2}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.1

Faktorisiere $3$ aus $45$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (15)}{2}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 15}{2}$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{15}{2}$

Schritt 16