Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{4}$ , $[1, 5]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 5]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} \frac{x}{4} d x)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{5} x d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $5$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}))$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}))$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}))$

Schritt 7.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1))$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}))$

Schritt 7.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{25 - 1}{2})$

Schritt 7.2.6

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{24}{2})$

Schritt 7.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 7.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12}{2})$

Schritt 7.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12}{2 (1)})$

Schritt 7.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1})$

Schritt 7.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{12}{1})$

Schritt 7.2.7.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 12)$

Schritt 7.2.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{12}{4})$

Schritt 7.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 7.2.9.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{4 \cdot 3}{4})$

Schritt 7.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{4 \cdot 3}{4 (1)})$

Schritt 7.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1})$

Schritt 7.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{3}{1})$

Schritt 7.2.9.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (3)$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 3$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$A (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 10