Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ , $[1, 27]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 27]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x)$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ bei $27$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 7.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243 - 3}{4})$

Schritt 7.2.10

Subtrahiere $3$ von $243$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{240}{4})$

Schritt 7.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $240$ und $4$ .

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Schritt 7.2.11.1

Faktorisiere $4$ aus $240$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4})$

Schritt 7.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 (1)})$

Schritt 7.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1})$

Schritt 7.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{60}{1})$

Schritt 7.2.11.2.4

Dividiere $60$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (60)$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von $27$ .

$A (x) = \frac{1}{26} \cdot 60$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 (13)} \cdot 60$

Schritt 9.2

Faktorisiere $2$ aus $60$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Schritt 9.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{13} \cdot 30$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{13}$ und $30$ .

$A (x) = \frac{30}{13}$

Schritt 11