Analysis Beispiele

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[- 4, - 3]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ .

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Schritt 1.1

Setze die Basis in $x^{- 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 4, - 3]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Schritt 7

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

Schritt 8

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $- 3$ und $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Schritt 9.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $- 3$ und $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.5

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

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Schritt 9.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.6.2.4

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.7

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.8

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.3.10.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.10.2

Subtrahiere $16$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Schritt 9.1.3.12

Um $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 9.1.3.13

Kombiniere $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ und $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Schritt 9.1.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Schritt 9.1.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Schritt 9.2.2

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Schritt 9.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Schritt 9.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

Schritt 9.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 4$ und $0$ ist $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Addiere $- 3$ und $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Schritt 10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ mit $1$ .

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Vereinfache $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ , indem du $24$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

Schritt 11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

Schritt 11.3

Potenziere $3$ mit $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

Schritt 11.4

Potenziere $4$ mit $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

Schritt 12