Analysis Beispiele

$f (x) = 9 - x^{2}$ , $[- 3, 3]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 3, 3]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 9 d x + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (9 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (9 x]_{- 3}^{3} - \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $9 x$ bei $3$ und $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} ((9 \cdot 3) - 9 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $3$ und $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 + 27 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3

Addiere $27$ und $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.6

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 - \frac{- 27}{3}))$

Schritt 9.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

Schritt 9.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

Schritt 9.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 - \frac{- 9}{1}))$

Schritt 9.2.3.7.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 + 9))$

Schritt 9.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - (9 + 9))$

Schritt 9.2.3.9

Addiere $9$ und $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - 1 \cdot 18)$

Schritt 9.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (54 - 18)$

Schritt 9.2.3.11

Subtrahiere $18$ von $54$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (36)$

Schritt 10

Addiere $3$ und $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 36$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (6))$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 6)$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 6$

Schritt 12