Analysis Beispiele

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[4, 9]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[4, 9]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $9$ und $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.6.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Schritt 8.2.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Schritt 8.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Schritt 8.2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

Schritt 8.2.2.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

Schritt 8.2.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

Schritt 8.2.2.12

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

Schritt 8.2.2.13

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

Schritt 8.2.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

Schritt 8.2.2.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.15.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

Schritt 8.2.2.15.2

Subtrahiere $16$ von $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

Schritt 8.2.2.16

Kombiniere $6$ und $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

Schritt 8.2.2.17

Mutltipliziere $6$ mit $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

Schritt 8.2.2.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $228$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.18.1

Faktorisiere $3$ aus $228$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

Schritt 8.2.2.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

Schritt 8.2.2.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.2.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

Schritt 8.2.2.18.2.4

Dividiere $76$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

Schritt 9

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

Schritt 11