Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[0, 2 π]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = 5 \csc (x)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\csc (x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

Schritt 6

Das Integral von $\csc (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Berechne $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ bei $2 π$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

Schritt 7.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.1

Schreibe $\csc (2 π)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.2.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.2.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Schreibe $\csc (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

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Schritt 7.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Schritt 7.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

Schritt 7.3.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

Schritt 8.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 π}$ mit $0$ .

$A (x) = 0$

Schritt 10