Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - x$ , $[- 1, 4]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 4]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} - x d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} x d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}))$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

Schritt 11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

Schritt 11.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64 + 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.7

Addiere $64$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{65}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.8

Kombiniere $3$ und $\frac{65}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $65$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{195}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $195$ und $3$ .

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Schritt 11.2.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $195$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 (1)} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 \cdot 1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65}{1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2.4

Dividiere $65$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 11.2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.12.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{1}{2}))$

Schritt 11.2.3.14

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Schritt 11.2.3.15

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Schritt 11.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2})$

Schritt 11.2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.17.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{16 - 1}{2})$

Schritt 11.2.3.17.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{15}{2})$

Schritt 11.2.3.18

Um $65$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2})$

Schritt 11.2.3.19

Kombiniere $65$ und $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2})$

Schritt 11.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2 - 15}{2})$

Schritt 11.2.3.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.21.1

Mutltipliziere $65$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{130 - 15}{2})$

Schritt 11.2.3.21.2

Subtrahiere $15$ von $130$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{115}{2})$

Schritt 12

Addiere $4$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{115}{2}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $5$ aus $115$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (23)}{2}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 23}{2}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{23}{2}$

Schritt 14