Analysis Beispiele

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 5]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Schritt 7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Schritt 8

Sei $u = - 0.04 x$ . Dann ist $d u = - 0.04 d x$ , folglich $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - 0.04 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 0.04$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.04 x$ nach $x$ gleich $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 0.04$ mit $1$ .

$- 0.04$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 0.04 x$ ein.

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 0.04$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 0.04 x$ ein.

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $- 0.04$ mit $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Schritt 9.2

Kombiniere ${2.71828182}^{u}$ und $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{0.04}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.04}$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{0.04}$ und $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Schritt 13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Schritt 14

Das Integral von ${2.71828182}^{u}$ nach $u$ ist $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ und $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Schritt 15.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Schritt 16

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 16.1

Berechne $29 x$ bei $5$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Schritt 16.2

Berechne $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ bei $- 0.2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3

Vereinfache.

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $29$ mit $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.2

Mutltipliziere $- 29$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.3

Addiere $145$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.5

Potenziere $2.71828182$ mit $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.6

Schreibe $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ als ein Produkt um.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1.22140275}$ mit $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.8

Mutltipliziere $1.22140275$ mit $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 16.3.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.1.1

Dividiere $1$ durch $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.2

Um $0.81873075$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.1.4.1

Mutltipliziere $0.81873075$ mit $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.4.2

Subtrahiere $1$ von $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.6

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.7

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $2.71828182$ ist ungefähr $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Schritt 17.1.1.8

Dividiere $0.18126924$ durch $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Schritt 17.1.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Schritt 17.1.3

Dividiere $- 1.45015397$ durch $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Schritt 17.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Schritt 17.2

Addiere $145$ und $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Schritt 18

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Schritt 18.2

Addiere $5$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Schritt 19

Kombiniere Brüche.

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Schritt 19.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Schritt 19.2

Dividiere $181.25384939$ durch $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Schritt 20