Analysis Beispiele

$f (x) = 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3$ , $[0, 20]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 20]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $- 2 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x + x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Schritt 5.2

Addiere $204 x$ und $14 x$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} + 218 x + 3 d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} d x + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Schritt 8

Da $218$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $218$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + 3 x]_{0}^{20})$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}$ und $3 x]_{0}^{20}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $20$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Schritt 12.2.2

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ bei $20$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3

Vereinfache.

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Schritt 12.2.3.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $400$ und $2$ .

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $400$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.2.2.4

Dividiere $200$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 12.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.6

Addiere $200$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 \cdot 200 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.7

Mutltipliziere $218$ mit $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.8

Potenziere $20$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 8000 + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.11

Um $60$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.12

Kombiniere $60$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + \frac{60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.3.14.1

Mutltipliziere $60$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.14.2

Addiere $8000$ und $180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.15

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.16

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 3 \cdot 0))$

Schritt 12.2.3.17

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 0))$

Schritt 12.2.3.18

Addiere $0$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - 0)$

Schritt 12.2.3.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} + 0)$

Schritt 12.2.3.20

Addiere $\frac{8180}{3}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3})$

Schritt 12.2.3.21

Um $43600$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8180}{3})$

Schritt 12.2.3.22

Kombiniere $43600$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3}{3} + \frac{8180}{3})$

Schritt 12.2.3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3 + 8180}{3})$

Schritt 12.2.3.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.3.24.1

Mutltipliziere $43600$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{130800 + 8180}{3})$

Schritt 12.2.3.24.2

Addiere $130800$ und $8180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{138980}{3})$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{138980}{3}$

Schritt 13.2

Addiere $20$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{138980}{3}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $20$ aus $138980$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (6949)}{3}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 6949}{3}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{6949}{3}$

Schritt 15