Analysis Beispiele

$y = x + e^{- 5 x}$

Schritt 1

Schreibe $y = x + e^{- 5 x}$ als Funktion.

$f (x) = x + e^{- 5 x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + e^{- 5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.2.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Schritt 2.2.5

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 x}$ .

$1 - 5 e^{- 5 x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 5 e^{- 5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 e^{- 5 x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Schritt 3.2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Schritt 3.2.6

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = 0 + 25 e^{- 5 x}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $25 e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + e^{- 5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.2.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Schritt 5.1.2.5

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = 1 - 5 e^{- 5 x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - 5 e^{- 5 x}$ .

$1 - 5 e^{- 5 x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - 5 e^{- 5 x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 e^{- 5 x} = - 1$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 e^{- 5 x} = - 1$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $e^{- 5 x}$ durch $1$ .

$e^{- 5 x} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$e^{- 5 x} = \frac{1}{5}$

Schritt 6.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 5 x}) = \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 6.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.5.1

Zerlege $\ln (e^{- 5 x})$ durch Herausziehen von $- 5 x$ aus dem Logarithmus.

$- 5 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 6.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 5 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 6.6

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Schritt 6.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$25 e^{- 5 (- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5})}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 10.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ in den Zähler.

$25 e^{- 5 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$25 e^{5 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 e^{5 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Schritt 10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$25 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{5}))}$

Schritt 10.2

Multipliziere.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$25 e^{1 \ln (\frac{1}{5})}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\ln (\frac{1}{5})$ mit $1$ .

$25 e^{\ln (\frac{1}{5})}$

Schritt 10.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$25 (\frac{1}{5})$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$5 (5) \frac{1}{5}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 5 \frac{1}{5}$

Schritt 10.4.3

Forme den Ausdruck um.

$5$

Schritt 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ .

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Schritt 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

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Schritt 12.1.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ als $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ um.

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{1}{5}))$

Schritt 12.1.2

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - \ln ({(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{5}})$

Schritt 12.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 12.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 12.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) + e^{- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))}$

Schritt 12.3

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.3.1.1

Multipliziere $- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))$ .

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Schritt 12.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}$

Schritt 12.3.1.1.2

Vereinfache $5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5})}$

Schritt 12.3.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + {(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5}$

Schritt 12.3.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}$ an.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1^{5}}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 12.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 12.3.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.3.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 12.3.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 12.3.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 12.3.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 12.3.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Schritt 12.3.1.5.2

Berechne den Exponenten.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Schritt 12.3.2

Die endgültige Lösung ist $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}, - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14