Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[2, 4]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{8}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[2, 4]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{8}{x^{2}} d x)$

Schritt 5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{- 2} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $4$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 ((- 4^{- 1}) + 2^{- 1}))$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + 2^{- 1}))$

Schritt 8.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}))$

Schritt 8.2.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Schritt 8.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}))$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}))$

Schritt 8.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{- 1 + 2}{4}))$

Schritt 8.2.6

Addiere $- 1$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{1}{4}))$

Schritt 8.2.7

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{8}{4})$

Schritt 8.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 8.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4})$

Schritt 8.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 (1)})$

Schritt 8.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1})$

Schritt 8.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{2}{1})$

Schritt 8.2.8.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2)$

Schritt 9

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1$

Schritt 11