Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[2, 4]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[2, 4]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

Schritt 7

Multipliziere $(x + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Schritt 10

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\ln (| x |)]_{2}^{4}$ und $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\ln (| x |) - x^{- 1}$ bei $4$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Schritt 12.2.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Schritt 12.2.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

Schritt 12.2.2.3

Um $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

Schritt 12.2.2.4

Kombiniere $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ und $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Schritt 12.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Schritt 12.2.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Schritt 13.1.2

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Schritt 13.1.3

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Schritt 13.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.4.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

Schritt 13.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

Schritt 13.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Schritt 13.1.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Schritt 13.1.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

Schritt 13.1.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

Schritt 13.1.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

Schritt 13.1.4.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Schritt 13.2

Um $2 \ln (2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Schritt 13.3

Kombiniere $2 \ln (2)$ und $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Schritt 13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Schritt 13.5.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

Schritt 13.7

Subtrahiere $4 \ln (2)$ von $8 \ln (2)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

Schritt 14

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Vereinfache $4 \ln (2)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

Schritt 15.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

Schritt 16

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 17

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (16)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 18

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Schritt 19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Schritt 19.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Schritt 19.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Schritt 19.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Schritt 19.4

Berechne den Exponenten.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Schritt 20