Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[1, 3]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 3]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

Schritt 7

Multipliziere $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8.2

Vereinfache $x^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $x]_{1}^{3}$ und $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Berechne $x - x^{- 1}$ bei $3$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

Schritt 12.2.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Schritt 12.2.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Schritt 12.2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Schritt 12.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Schritt 12.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Schritt 12.2.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Schritt 12.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

Schritt 12.2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

Schritt 12.2.2.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

Schritt 12.2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

Schritt 12.2.2.10

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

Schritt 12.2.2.11

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

Schritt 12.2.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

Schritt 13

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{16}{3}$

Schritt 15