Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , $[- 1, 11]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 11]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} - 4 x + 5 d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \int_{- 1}^{11} x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Schritt 9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 \int_{- 1}^{11} x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $11$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $11$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Schritt 13.3

Berechne $5 x$ bei $11$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $11$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{- 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331 + 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.7

Addiere $1331$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1332}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1332$ und $3$ .

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Schritt 13.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $1332$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 (1)}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{444}{1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.8.2.4

Dividiere $444$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \cdot 444 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $444$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.10

Potenziere $11$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.11

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{121 - 1}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.13

Subtrahiere $1$ von $121$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{120}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $2$ .

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Schritt 13.4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $120$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 (1)} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{60}{1}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.14.2.4

Dividiere $60$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \cdot 60 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.15

Mutltipliziere $- 4$ mit $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 240 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.16

Subtrahiere $240$ von $888$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.17

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 - 5 \cdot - 1)$

Schritt 13.4.18

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 + 5)$

Schritt 13.4.19

Addiere $55$ und $5$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 60)$

Schritt 13.4.20

Addiere $648$ und $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (708)$

Schritt 14

Addiere $11$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot 708$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 15.1

Faktorisiere $12$ aus $708$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 (59))$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 59)$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 59$

Schritt 16