Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[- 2, 2]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 5

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $15$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 6

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Schritt 6.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{lower} = 5$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Schritt 6.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\ln (| u |)$ bei $5$ und $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $\ln (| 5 |)$ von $\ln (| 5 |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

Schritt 12

Addiere $2$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 13

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$A (x) = 0$

Schritt 14