Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[0, 9]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{10}{x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 9]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

Schritt 5

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 6

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{upper} = 9 + 1$

Schritt 6.5

Addiere $9$ und $1$ .

$u_{upper} = 10$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

Schritt 8

Berechne $\ln (| u |)$ bei $10$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

Schritt 9

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $10$ ist $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

Schritt 10.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

Schritt 10.3

Dividiere $10$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

Schritt 11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

Schritt 11.2

Addiere $9$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

Schritt 12

Vereinfache $10 \ln (10)$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

Schritt 13

Potenziere $10$ mit $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

Schritt 14

Vereinfache $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ , indem du $\frac{1}{9}$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

Schritt 15