Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[2, 4]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[2, 4]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

Schritt 5

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{lower} = 2 - 1$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{upper} = 4 - 1$

Schritt 5.5

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Schritt 7

Berechne $\ln (| u |)$ bei $3$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

Schritt 9.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

Schritt 9.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

Schritt 10

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

Schritt 11

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 12