Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[4, 6]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[4, 6]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[4, 6]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\int_{4}^{6} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| x |)]_{4}^{6})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $6$ und $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |))$

Schritt 6.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |}))$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $6$ ist $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{| 4 |}))$

Schritt 6.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{4}))$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 (3)}{4}))$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{3}{2}))$

Schritt 7

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 8

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$A (x) = \ln (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 10