Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[0, 5]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 6}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 6}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 5]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Schritt 5

Sei $u = x - 6$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u = x - 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 5.1.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 6$ ein.

$u_{lower} = 0 - 6$

Schritt 5.3

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 6$ ein.

$u_{upper} = 5 - 6$

Schritt 5.5

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $- 1$ und $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 8.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Schritt 8.2.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Schritt 8.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Schritt 8.2.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Schritt 8.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Schritt 8.2.9

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Schritt 9.2

Addiere $5$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Schritt 11