Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 7$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 7$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 13 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 13 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 13 (2 x) + \frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 13$ .

$3 x^{2} - 26 x + \frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [35 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $35$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $35 x$ nach $x$ gleich $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 26 x + 35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 26 x + 35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 26 x + 35 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 26 x + 35 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 x^{2} - 26 x + 35$ und $0$ .

$3 x^{2} - 26 x + 35$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 26 x + 35 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 35 = 105$ und deren Summe gleich $b = - 26$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $- 26$ aus $- 26 x$ heraus.

$3 x^{2} - 26 x + 35 = 0$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $- 26$ um als $- 5$ plus $- 21$

$3 x^{2} + (- 5 - 21) x + 35 = 0$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 5 x - 21 x + 35 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 5 x) - 21 x + 35 = 0$

Schritt 3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 5) - 7 (3 x - 5) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 5$ .

$(3 x - 5) (x - 7) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 3.3

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $3 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 3.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 5) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{3}, 7$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 7$ bei $x = \frac{5}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{3}$ .

$f (\frac{5}{3}) = {(\frac{5}{3})}^{3} - 13 {(\frac{5}{3})}^{2} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$f (\frac{5}{3}) = \frac{5^{3}}{3^{3}} - 13 {(\frac{5}{3})}^{2} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{3^{3}} - 13 {(\frac{5}{3})}^{2} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - 13 {(\frac{5}{3})}^{2} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - 13 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - 13 \frac{25}{3^{2}} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - 13 (\frac{25}{9}) + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere $- 13 (\frac{25}{9})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.7.1

Kombiniere $- 13$ und $\frac{25}{9}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} + \frac{- 13 \cdot 25}{9} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.7.2

Mutltipliziere $- 13$ mit $25$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} + \frac{- 325}{9} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325}{9} + 35 (\frac{5}{3}) + 7$

Schritt 4.2.1.9

Multipliziere $35 (\frac{5}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.9.1

Kombiniere $35$ und $\frac{5}{3}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325}{9} + \frac{35 \cdot 5}{3} + 7$

Schritt 4.2.1.9.2

Mutltipliziere $35$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325}{9} + \frac{175}{3} + 7$

Schritt 4.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{325}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - (\frac{325}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{175}{3} + 7$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{325}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{175}{3} + 7$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{175}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{175}{3} \cdot \frac{9}{9} + 7$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{175}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{175 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 7$

Schritt 4.2.2.5

Schreibe $7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{175 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7}{1}$

Schritt 4.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{175 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{175 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.2.8

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{175 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{27} + \frac{175 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{325 \cdot 3}{27} + \frac{175 \cdot 9}{27} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125 - 325 \cdot 3 + 175 \cdot 9 + 7 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 325$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125 - 975 + 175 \cdot 9 + 7 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $175$ mit $9$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125 - 975 + 1575 + 7 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $7$ mit $27$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{125 - 975 + 1575 + 189}{27}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $975$ von $125$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{- 850 + 1575 + 189}{27}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 850$ und $1575$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{725 + 189}{27}$

Schritt 4.2.5.3

Addiere $725$ und $189$ .

$f (\frac{5}{3}) = \frac{914}{27}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{914}{27}$ .

$\frac{914}{27}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 7$ bei $x = 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = {(7)}^{3} - 13 {(7)}^{2} + 35 (7) + 7$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f (7) = 343 - 13 {(7)}^{2} + 35 (7) + 7$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (7) = 343 - 13 \cdot 49 + 35 (7) + 7$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 13$ mit $49$ .

$f (7) = 343 - 637 + 35 (7) + 7$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $35$ mit $7$ .

$f (7) = 343 - 637 + 245 + 7$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $637$ von $343$ .

$f (7) = - 294 + 245 + 7$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 294$ und $245$ .

$f (7) = - 49 + 7$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 49$ und $7$ .

$f (7) = - 42$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 42$ .

$- 42$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 13 x^{2} + 35 x + 7$ sind $y = \frac{914}{27}, y = - 42$ .

$y = \frac{914}{27}, y = - 42$

Schritt 7