Analysis Beispiele

$\int \frac{5}{e^{5 x}} - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{5}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{5 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$5 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 \int 1 e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $e^{- 5 x}$ mit $1$ .

$5 \int e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 4

Sei $u = - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 4.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 5$ .

$\frac{- 5}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (e^{u} + C) - \int \frac{2}{5 x} d x$

Schritt 12

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$- (e^{u} + C) - (\frac{2}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- (e^{u} + C) - \frac{2}{5} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$- e^{u} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$- e^{- 5 x} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$