Analysis Beispiele

$\int x - 2 e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Schritt 8

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 9

Sei $u_{2} = - 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 9.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 10.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + 1 (\frac{1}{2}) \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 15

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$