Analysis Beispiele

$f (x) = x^{- 1} + x y - 8 y^{- 1}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{- 8}{y}]$

Schritt 1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{y}]$

Schritt 1.4.3

Da $- \frac{8}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- x^{- 2} + y + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $- x^{- 2} + y$ und $0$ .

$- x^{- 2} + y$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$y - x^{- 2}$

Schritt 1.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.1.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.2.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{2}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$y - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{- 8}{y}]$

Schritt 4.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{y}]$

Schritt 4.1.4.3

Da $- \frac{8}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- x^{- 2} + y + 0$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Addiere $- x^{- 2} + y$ und $0$ .

$- x^{- 2} + y$

Schritt 4.1.5.2

Stelle die Terme um.

$y - x^{- 2}$

Schritt 4.1.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = y - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $y - \frac{1}{x^{2}}$ .

$y - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $y - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$y - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} = - y$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - y$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - y$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - y x^{2}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- y x^{2} = - 1$ um.

$- y x^{2} = - 1$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- y x^{2} = - 1$ durch $- y$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y x^{2} = - 1$ durch $- y$ .

$\frac{- y x^{2}}{- y} = \frac{- 1}{- y}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{- 1}{- y}$

Schritt 5.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{- 1}{- y}$

Schritt 5.5.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- y}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{y}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{y}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{y}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{y}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Schritt 5.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y}}$

Schritt 5.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Schritt 5.5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Schritt 5.5.4.4.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Schritt 5.5.4.4.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Schritt 5.5.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 5.5.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Schritt 5.5.4.4.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$y = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{y}}{y}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{(\frac{\sqrt{y}}{y})}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{y}}{y}$ an.

$\frac{2}{\frac{{\sqrt{y}}^{3}}{y^{3}}}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{y}}^{3}$ als $\sqrt{y^{3}}$ um.

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y^{3}}}{y^{3}}}$

Schritt 9.1.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus.

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y^{2} y}}{y^{3}}}$

Schritt 9.1.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2}{\frac{y \sqrt{y}}{y^{3}}}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{3}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \sqrt{y}$ heraus.

$\frac{2}{\frac{y (\sqrt{y})}{y^{3}}}$

Schritt 9.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{2}{\frac{y (\sqrt{y})}{y \cdot y^{2}}}$

Schritt 9.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\frac{y \sqrt{y}}{y \cdot y^{2}}}$

Schritt 9.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y}}{y^{2}}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 \frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Schritt 9.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Schritt 9.4.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Schritt 9.4.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Schritt 9.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Schritt 9.4.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 9.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Schritt 9.4.6.5

Vereinfache.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} \sqrt{y}$ heraus.

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y}$

Schritt 9.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y^{1}}$

Schritt 9.5.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y \cdot 1}$

Schritt 9.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y \cdot 1}$

Schritt 9.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{y \sqrt{y}}{1}$

Schritt 9.5.2.5

Dividiere $y \sqrt{y}$ durch $1$ .

$2 (y \sqrt{y})$

$2 y \sqrt{y}$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11