Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{8}{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Schritt 1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1.6

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{8}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.9

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Schritt 4.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 4.1.6

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x^{\frac{5}{3}} = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 5.3.1.2.2

Dividiere $x^{\frac{5}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{5}{3}} = \frac{0}{8}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$x^{\frac{5}{3}} = 0$

Schritt 5.3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache $0^{\frac{3}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 5.3.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 0^{3}$

Schritt 5.3.3.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{40 {(0)}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{40 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Schritt 9.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{40 \cdot 0^{2}}{9}$

Schritt 9.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{40 \cdot 0}{9}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $40$ mit $0$ .

$\frac{0}{9}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $0$ durch $9$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 10.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{8 {(2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f' (2) = \frac{2^{3} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (2) = \frac{2^{3 + \frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.4

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3 + 5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{9 + 5}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.1.6.2

Addiere $9$ und $5$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Schritt 10.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11