Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (x)}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(1 - \cos (\frac{π}{2})) \frac{2}{π}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$(1 - 0) \frac{2}{π}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$(1 + 0) \frac{2}{π}$

Schritt 6.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 \frac{2}{π}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$\frac{2}{π}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{π}$

Dezimalform:

$0.63661977 \dots$