Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.10

Kombiniere $- 32$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 16 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 - 16 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Schritt 2.3.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.17

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.3.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3.18.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.2

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.10

Kombiniere $- 32$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 16$

Schritt 5.4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{3}{2}}$ an.

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3.1.3

Vereinfache.

$2^{\frac{2}{3}} x = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.3.1.4

Stelle die Faktoren in $2^{\frac{2}{3}} x$ um.

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ durch $2^{\frac{2}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ durch $2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.3.1

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{16}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.3.2.1

Dividiere $16$ durch $2$ .

$x = 8^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.3.2.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.4.3.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 5.4.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 5.4.4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2^{2}$

Schritt 5.4.4.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{16}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 + \frac{8}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 + \frac{8}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{8}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{8}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{8}{2^{3}}$

Schritt 9.1.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 + \frac{8}{8}$

Schritt 9.1.2

Dividiere $8$ durch $8$ .

$2 + 1$

Schritt 9.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 10

$x = 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = {(4)}^{2} - 32 \sqrt{4} - 1$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 16 - 32 \sqrt{4} - 1$

Schritt 11.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (4) = 16 - 32 \sqrt{2^{2}} - 1$

Schritt 11.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (4) = 16 - 32 \cdot 2 - 1$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $- 32$ mit $2$ .

$f (4) = 16 - 64 - 1$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$f (4) = - 48 - 1$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 48$ .

$f (4) = - 49$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 49$ .

$y = - 49$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 + \frac{8}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$2 + \frac{8}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{8}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{8}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{8}{0^{3}}$

Schritt 13.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 + \frac{8}{0}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15