Analysis Beispiele

$\sqrt{5 + y^{2}} - x^{3} + 5 = 0$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 + y^{2}}$ als ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5 = 0$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 + y^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.11

Addiere $0$ und $2 y y'$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.13

Kombiniere $2$ und $\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.14

Kombiniere $y$ und $\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.15

Kombiniere $\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ und $y'$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.16

Bringe ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y \cdot 2 y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.17

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 \cdot y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.18

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.19

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + 0$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{2}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$