Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{k x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{k x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = k x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $e^{k x}$ mit $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{k x} k x + e^{k x}$ um.

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $k x e^{k x} + e^{k x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}] + \frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (k x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x e^{k x}$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x e^{k x}]$ .

$f'' (x) = k \frac{d}{d x} (x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.2

$f'' (x) = k (x \frac{d}{d x} (e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = k x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $k x$ .

$f'' (x) = k (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.4

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $e^{k x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = k x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (k x)$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (k x)$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)$

Schritt 2.3.2

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \cdot 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} k$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k)) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Schritt 2.4.2.2

Potenziere $k$ mit $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Schritt 2.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = k^{1 + 1} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Schritt 2.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Schritt 2.4.2.5

Addiere $k e^{k x}$ und $e^{k x} k$ .

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Schritt 2.4.2.5.1

Stelle $e^{k x}$ und $k$ um.

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + k e^{k x}$

Schritt 2.4.2.5.2

Addiere $k e^{k x}$ und $k e^{k x}$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + 2 k e^{k x}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$ um.

$f'' (x) = k^{2} x e^{k x} + 2 k e^{k x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = k x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $e^{k x}$ mit $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{k x} k x + e^{k x}$ um.

$f' (x) = k x e^{k x} + e^{k x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $k x e^{k x} + e^{k x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $e^{k x}$ aus $k x e^{k x} + e^{k x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $e^{k x}$ aus $k x e^{k x}$ heraus.

$e^{k x} (k x) + e^{k x} = 0$

Schritt 5.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1 = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $e^{k x}$ aus $e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1$ heraus.

$e^{k x} (k x + 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{k x} = 0$

$k x + 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $e^{k x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $e^{k x}$ gleich $0$ .

$e^{k x} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $e^{k x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{k x}) = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.4.2.2.1

Zerlege $\ln (e^{k x})$ durch Herausziehen von $k x$ aus dem Logarithmus.

$k x \ln (e) = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$k x \cdot 1 = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$k x = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $k x = Undefined$ durch $k$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $k x = Undefined$ durch $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Schritt 5.4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 5.4.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Schritt 5.4.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{Undefined}{k}$

Schritt 5.5

Setze $k x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $k x + 1$ gleich $0$ .

$k x + 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $k x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k x = - 1$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $k x = - 1$ durch $k$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $k x = - 1$ durch $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Schritt 5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{k}$

Schritt 5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{k}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{k x} (k x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{k}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{1}{k}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{k}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$k^{2} (- \frac{1}{k}) e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- k^{2} \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $k$ aus $- k^{2}$ heraus.

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- k e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- k e^{- k \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $k$ aus $- k$ heraus.

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- k e^{- 1} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- k \frac{1}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.6

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Schritt 9.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- k \frac{1}{k}}$

Schritt 9.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 9.1.8.1

Faktorisiere $k$ aus $- k$ heraus.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Schritt 9.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Schritt 9.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- 1}$

Schritt 9.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k \frac{1}{e}$

Schritt 9.1.10

Multipliziere $2 k \frac{1}{e}$ .

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Schritt 9.1.10.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + k \frac{2}{e}$

Schritt 9.1.10.2

Kombiniere $k$ und $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{k \cdot 2}{e}$

Schritt 9.1.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $k$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{2 k}{e}$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- k + 2 k}{e}$

Schritt 9.2.2

Addiere $- k$ und $2 k$ .

$\frac{k}{e}$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die erste Ableitung $k x e^{k x} + e^{k x}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = k (0) \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $k$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{k (0)}$

Schritt 10.2.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{k (0)}$

Schritt 10.2.2.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{k (0)}$

Schritt 10.2.2.1.5

Mutltipliziere $k$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Schritt 10.2.2.1.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 10.3

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = x e^{k x}$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 11