Analysis Beispiele

$\frac{y}{x^{3}} + \frac{x}{y^{3}} = x^{2} y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x^{3}} + \frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y}{x^{3}} + \frac{x}{y^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x^{3} y' - y \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} y' - y (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} y' - 3 y x^{2}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} y' - 3 y x^{2}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} y' - 3 y x^{2}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} y' - 3 y x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} y'$ heraus.

$\frac{x^{2} (x y') - 3 y x^{2}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 y x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x y') + x^{2} (- 3 y)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.6.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x y') + x^{2} (- 3 y)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x y' - 3 y)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x y' - 3 y)}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x y' - 3 y)}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (3 y^{2} y')}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - x (3 y^{2} y')}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - 3 x (y^{2} y')}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - 3 x y^{2} y'}{y^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - 3 x y^{2} y'}{y^{6}}$

Schritt 2.3.8

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} - 3 x y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 2.3.8.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} y - 3 x y^{2} y'}{y^{6}}$

Schritt 2.3.8.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 x y^{2} y'$ heraus.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} y + y^{2} (- 3 x y')}{y^{6}}$

Schritt 2.3.8.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} y + y^{2} (- 3 x y')$ heraus.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} (y - 3 x y')}{y^{6}}$

Schritt 2.3.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.9.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{6}$ heraus.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} (y - 3 x y')}{y^{2} y^{4}}$

Schritt 2.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} (y - 3 x y')}{y^{2} y^{4}}$

Schritt 2.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1.1

Um $\frac{x y' - 3 y}{x^{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$

Schritt 2.4.1.2

Um $\frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{4} y^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x y' - 3 y}{x^{4}}$ mit $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$ mit $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{(y - 3 x y') x^{4}}{y^{4} x^{4}}$

Schritt 2.4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $y^{4} x^{4}$ um.

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{(y - 3 x y') x^{4}}{x^{4} y^{4}}$

Schritt 2.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4} + (y - 3 x y') x^{4}}{x^{4} y^{4}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{4} y^{4}$ .

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} (x^{4} y^{4}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} (x^{4} y^{4})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4} y^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} (x^{4} y^{4}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} (x y') + y^{4} (- 3 y) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{4} x y' - 3 y^{4} y + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Multipliziere $y^{4}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.3.1

Bewege $y$ .

$y^{4} x y' - 3 (y \cdot y^{4}) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{4} x y' - 3 (y^{1} y^{4}) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{4} x y' - 3 y^{1 + 4} + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.3.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y + x^{4} (- 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{4} (x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 (x \cdot x^{4}) y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 (x^{1} x^{4}) y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{1 + 4} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.2.6.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{5} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Bewege $y^{4}$ .

$x y' y^{4} - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{5} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Stelle $x$ und $y'$ um.

$y' x y^{4} - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{5} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.3.3

Bewege $x^{5}$ .

$y' x y^{4} - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 y' x^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.3.4

Bewege $- 3 y^{5}$ .

$y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y' x^{5} - 3 y^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.3.5

Bewege $x^{4} y$ .

$y' x y^{4} - 3 y' x^{5} + x^{4} y - 3 y^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.1.1.3.6

Stelle $y' x y^{4}$ und $- 3 y' x^{5}$ um.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{2} y y' (x^{4} y^{4}) + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 (x^{4} x^{2}) y y' y^{4} + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{4 + 2} y y' y^{4} + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Schritt 5.2.2.1.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Bewege $y^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 (y^{4} y^{2}) x \cdot x^{4}$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 y^{4 + 2} x \cdot x^{4}$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Addiere $4$ und $2$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Schritt 5.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.4.1

Multipliziere $y$ mit $y^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.1

Bewege $y^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} (y^{4} y) y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.4.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} (y^{4} y^{1}) y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{4 + 1} y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Schritt 5.2.2.1.4.1.3

Addiere $4$ und $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.4.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} (x^{4} x)$

Schritt 5.2.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} (x^{4} x^{1})$

Schritt 5.2.2.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} x^{4 + 1}$

Schritt 5.2.2.1.4.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} x^{5}$

Schritt 5.2.2.1.5

Stelle um.

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Schritt 5.2.2.1.5.1

Bewege $y^{5}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y' y^{5} + 2 y^{6} x^{5}$

Schritt 5.2.2.1.5.2

Bewege $x^{6}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 y' x^{6} y^{5} + 2 y^{6} x^{5}$

Schritt 5.2.2.1.5.3

Bewege $y^{6}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 y' x^{6} y^{5} + 2 x^{5} y^{6}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $2 y' x^{6} y^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6}$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $x^{4} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} - 3 y^{5} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $3 y^{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y' x$ aus $- 3 y' x^{5}$ heraus.

$y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x y^{4}$ heraus.

$y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $- 2 y' x^{6} y^{5}$ heraus.

$y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4} + y' x (- 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4}$ heraus.

$y' x (- 3 x^{4} + y^{4}) + y' x (- 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x (- 3 x^{4} + y^{4}) + y' x (- 2 x^{5} y^{5})$ heraus.

$y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$ durch $x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$ durch $x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})$ .

$\frac{y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} = \frac{2 x^{5} y^{6}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} = \frac{2 x^{5} y^{6}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x^{5} y^{6}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.4.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{5} y^{6}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 x^{4} y^{6})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (2 x^{4} y^{6})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.4.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{4} y$ heraus.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{x (- x^{3} y)}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{x (- x^{3} y)}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{- x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} - \frac{x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6} - x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.2.2

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $2 x^{4} y^{6} - x^{3} y$ heraus.

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Schritt 5.3.4.3.2.2.1

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $2 x^{4} y^{6}$ heraus.

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5}) - x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.2.2.2

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $- x^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5}) + x^{3} y (- 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.2.2.3

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $x^{3} y (2 x y^{5}) + x^{3} y (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.3

Um $\frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x}{(- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) x} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) x$ um.

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x + 3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x + 3 y^{5}$ heraus.

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Schritt 5.3.4.3.6.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x$ heraus.

$y' = \frac{y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x) + 3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.1.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y^{5}$ heraus.

$y' = \frac{y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x) + y (3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x) + y (3 y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.3.6.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y (x \cdot x^{3} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 5.3.4.3.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{y (x^{1} x^{3} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y (x^{1 + 3} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$y' = \frac{y (x^{4} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{y (x^{4} (2 x y^{5}) + x^{4} \cdot - 1 + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{y (2 x^{4} (x y^{5}) + x^{4} \cdot - 1 + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$y' = \frac{y (2 x^{4} (x y^{5}) - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.3.6.6.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.3.6.6.1.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y (2 (x \cdot x^{4}) y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 5.3.4.3.6.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{y (2 (x^{1} x^{4}) y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y (2 x^{1 + 4} y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.6.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.6.6.2

Schreibe $- 1 x^{4}$ als $- x^{4}$ um.

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.4.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4}) + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y^{4}$ heraus.

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4}) - 1 (- y^{4}) - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{4}) - 1 (- y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4} - y^{4}) - 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 5.3.4.3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{5} y^{5}$ heraus.

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4} - y^{4}) - (2 x^{5} y^{5}))}$

Schritt 5.3.4.3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{4} - y^{4}) - (2 x^{5} y^{5})$ heraus.

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5}))}$

Schritt 5.3.4.3.7.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.4.3.7.6.1

Schreibe $- (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})$ als $- 1 (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})$ um.

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 1 (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5}))}$

Schritt 5.3.4.3.7.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})}$