Analysis Beispiele

$f (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 1.2.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3 \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 3})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$f'' (x) = 2 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6