Analysis Beispiele

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Mutltipliziere ${(x - 5)}^{5}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

Schritt 1.3.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

Schritt 1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

Schritt 1.3.4

Addiere $1$ und $4$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

Schritt 1.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 {(x - 1)}^{5}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

Schritt 1.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

Schritt 1.3.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Schritt 1.3.12

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 {(x - 5)}^{4}$ heraus.

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $25 {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ heraus.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.3.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 {(x - 1)}^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Schritt 2.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Schritt 2.5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $20$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $20$ aus $20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.4.1

Faktorisiere $20$ aus $20 {(x - 5)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

Schritt 2.6.4.2

Faktorisiere $20$ aus $100 {(x - 1)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

Schritt 2.6.4.3

Faktorisiere $20$ aus $20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ heraus.

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6