Analysis Beispiele

$f (x) = 1 - x^{2} y^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2} y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - y^{2} (2 x)$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 y^{2} x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von $0$ .

$- 2 y^{2} x$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2} x$ nach $x$ gleich $- 2 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 y^{2} \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 y^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 y^{2} x = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2} y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Schritt 4.1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - y^{2} (2 x)$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 y^{2} x$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von $0$ .

$f' (x) = - 2 y^{2} x$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 y^{2} x$ .

$- 2 y^{2} x$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 y^{2} x = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 y^{2} x = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y^{2} x = 0$ durch $- 2 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y^{2} x = 0$ durch $- 2 y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{- 2 y^{2}} = \frac{0}{- 2 y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y^{2} x}{- 2 y^{2}} = \frac{0}{- 2 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{0}{- 2 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{0}{- 2 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 2 y^{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{- 2 y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 (0)}{2 (- y^{2})}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 (- y^{2})}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{0}{- y^{2}}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $0$ durch $- y^{2}$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 y^{2}$

Schritt 9

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 10