Analysis Beispiele

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $0.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.3 x^{1.25}$ nach $x$ gleich $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $1.25$ mit $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.5 x$ nach $x$ gleich $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1.5$ mit $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $88.6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $88.6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $0.375 x^{0.25} - 1.5$ und $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.375 x^{0.25} - 1.5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $0.375$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.375 x^{0.25}$ nach $x$ gleich $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $0.25$ mit $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Schritt 2.3

Da $- 1.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $0.09375$ und $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $0.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.3 x^{1.25}$ nach $x$ gleich $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $1.25$ mit $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.5 x$ nach $x$ gleich $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1.5$ mit $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $88.6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $88.6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $0.375 x^{0.25} - 1.5$ und $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1.5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $0.375 x^{0.25} = 1.5$ durch $0.375$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $0.375 x^{0.25} = 1.5$ durch $0.375$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.375$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x^{0.25}$ durch $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $1.5$ durch $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

Schritt 5.4

Wandle den dezimalen Exponenten in einen gebrochenen Exponenten um.

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Schritt 5.4.1

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Dezimalen über einer Potenz von Zehn notierst. Da es $2$ Ziffern rechts vom Dezimaltrennzeichen gibt, notiere die Dezimalen über $10^{2}$ $(100)$ . Als Nächstes addiere die ganze Zahl links von den Dezimalen.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

Schritt 5.4.2

Vereinfache den Bruch.

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Schritt 5.4.2.1

Wandle $0 \frac{25}{100}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 5.4.2.1.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

Schritt 5.4.2.1.2

Addiere $0$ und $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $100$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

Schritt 5.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Schritt 5.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Schritt 5.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

Schritt 5.5

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{1}{0.25}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Schritt 5.6.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Schritt 5.6.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.6.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.25$ .

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Schritt 5.6.1.1.1.2.1

Faktorisiere $0.25$ aus $1$ heraus.

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.6.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.6.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.6.1.1.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.6.1.1.2

Vereinfache.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Vereinfache $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Dividiere $1$ durch $0.25$ .

$x = 4^{4}$

Schritt 5.6.2.1.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$x = 256$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wandle $0.25$ in einen Bruch um.

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Schritt 6.1.1.1

Multipliziere mit $\frac{100}{100}$ , um die Dezimalstellen zu beseitigen.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $100$ mit $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

Schritt 6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $100$ .

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Schritt 6.1.1.3.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

Schritt 6.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Schritt 6.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Schritt 6.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

Schritt 6.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

Schritt 6.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

Schritt 6.2

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 256$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 256$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Potenziere $256$ mit $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

Schritt 9.2

Dividiere $0.09375$ durch $64$ .

$0.00146484$

Schritt 10

$x = 256$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 256$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 256$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $256$ .

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $256$ mit $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $0.3$ mit $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $- 1.5$ mit $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $384$ von $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $- 76.8$ und $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $11.8$ .

$y = 11.8$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13