Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 5$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Schritt 1.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Schritt 1.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 1.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Schritt 1.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Schritt 1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Schritt 1.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Schritt 1.16

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17

Vereinfache.

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Schritt 1.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.17.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.17.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.17.3.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.17.3.1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.2

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.3

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.5

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Schritt 1.17.3.5.1

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $2$ um.

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.3.5.2

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.17.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 1.17.4.2

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 1.17.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 1.17.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.17.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 1.17.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 1.17.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.4.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.4.8

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.4.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.17.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Schritt 1.17.4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.17.5.1

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.17.5.3.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.17.5.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.5.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.5.3.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.5.3.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.5.3.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.17.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 1.17.7

Multipliziere $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

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Schritt 1.17.7.1

Mutltipliziere $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Schritt 1.17.7.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.17.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.17.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.17.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.17.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.17.7.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.17.7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.17.7.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 1.17.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} + (- x + 5) (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.3.1.1

Multipliziere $- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.10.3.1.1.1

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.1.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.3

Multipliziere $5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.3.1.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.2

Um $x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.3

Kombiniere $x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.7

Subtrahiere $3 x^{\frac{3}{2}}$ von $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.3.8.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.3.8.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.8.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $15 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.8.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}} + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.8.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.8.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.10

Schreibe $15$ als $- 1 (- 15)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) - 1 \cdot - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 15)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.12

Schreibe $- (x - 15)$ als $- 1 (x - 15)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.4.1

Schreibe $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{3}}$

Schritt 2.10.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{3}}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2 x^{3} \cdot 2}$

Schritt 2.10.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{4 x^{3}}$

Schritt 2.10.4.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.10.4.5

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.4.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Schritt 2.10.4.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Schritt 2.10.4.5.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.10.4.5.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 2.10.4.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 2.10.4.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.5.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Schritt 2.10.4.5.6.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.8.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Schritt 4.1.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Schritt 4.1.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.1.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.1.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Schritt 4.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Schritt 4.1.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Schritt 4.1.16

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17

Vereinfache.

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Schritt 4.1.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.17.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.17.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.17.3.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.17.3.1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.2

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.3

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.5

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Schritt 4.1.17.3.5.1

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $2$ um.

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.3.5.2

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.17.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.1.17.4.2

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.17.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.8

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.17.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.17.5.1

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.17.5.3.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.17.5.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.5.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.5.3.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.5.3.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.5.3.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.1.17.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 4.1.17.7

Multipliziere $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.17.7.1

Mutltipliziere $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Schritt 4.1.17.7.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.17.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.1.17.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.17.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.1.17.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.1.17.7.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.1.17.7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.1.17.7.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.1.17.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 5 = 0$

Schritt 5.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x^{3}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{3}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 5$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{(5) - 15}{4 {(5)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $15$ von $5$ .

$- \frac{- 10}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$- \frac{2 (- 5)}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$- \frac{2 (- 5)}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot - 5}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9.5

Bringe $5^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Schritt 9.6

Multipliziere $5^{\frac{5}{2}}$ mit $5^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.6.1

Bewege $5^{- 1}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 9.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{2}}}$

Schritt 9.6.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Schritt 9.6.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Schritt 9.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}}}$

Schritt 9.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 5}{2}}}$

Schritt 9.6.6.2

Addiere $- 2$ und $5$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.7

Multipliziere $- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

$x = 5$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 5$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 5$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Schritt 11.2.2

Addiere $5$ und $5$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 11.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 11.2.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 11.2.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 11.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 11.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 11.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 11.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 11.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{5}$ heraus.

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

Schritt 11.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Schritt 11.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Schritt 11.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

Schritt 11.2.5.2.4

Dividiere $2 \sqrt{5}$ durch $1$ .

$f (5) = 2 \sqrt{5}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{5}$ .

$y = 2 \sqrt{5}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$ .

$(5, 2 \sqrt{5})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13