Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x + 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (4 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.8

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.10

Schreibe $- (x^{2} + 4 x - 4)$ als $- 1 (x^{2} + 4 x - 4)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x - 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x - 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x - 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 + 0) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.8

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4)) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $- 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4)) + (x^{2} + 4) (- 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4)) + (x^{2} + 4) (- 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + 0$

Schritt 2.12.2

Addiere $- \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) + (- 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.13.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 4) (2 x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.13.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x + 4) + 4 (2 x + 4) - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x + 4) - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.13.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.13.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.13.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.13.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.13.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{1 + 2} - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.13.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 4 (4 (x \cdot x)) - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 4 (4 x^{2}) - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 16 x^{2} - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.2

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 16 x^{2} + 16 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.3

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 16 + 16 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.3.4

Addiere $8 x$ und $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 16$ heraus.

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Schritt 2.13.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 12 x^{2} + 24 x + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 24 x + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.4.3

Faktorisiere $2$ aus $24 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (12 x) + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.4.4

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.4.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (12 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 6 x^{2} + 12 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.4.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3} - 6 x^{2} + 12 x) + 2 (8)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 6 x^{2} + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (6 x^{2}) + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (6 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2}) + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.8

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2}) - (- 12 x) + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} + 6 x^{2}) - (- 12 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x) + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.10

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x) - 1 (- 8)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.12

Schreibe $- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)$ als $- 1 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2.13.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 2.13.15

Mutltipliziere $\frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x + 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (4 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.8

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.10

Schreibe $- (x^{2} + 4 x - 4)$ als $- 1 (x^{2} + 4 x - 4)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} + 4 x - 4 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 5.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}, - 2 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}, - 2 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 ({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{2 (- 8 + 12 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.6

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (2^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{1}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.9

Multipliziere $- 6 (4 \cdot 2)$ .

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Schritt 9.1.2.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 \cdot 8 + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.9.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $8$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.10

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 2^{3} {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{2^{3}} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{8} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.14

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{4 (2)} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.14.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 (2 \sqrt{2}) + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $48$ von $- 8$ .

$\frac{2 (- 56 + 24 \sqrt{2} + 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.4

Addiere $24 \sqrt{2}$ und $16 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.5

Schreibe ${(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2}$ als $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ um.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 ((- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.6

Multipliziere $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.7.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 9.1.7.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.7.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.7.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 8) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.2

Addiere $4$ und $8$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (12 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.7.3

Subtrahiere $4 \sqrt{2}$ von $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (12 - 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 \cdot 12 + 6 (- 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $12$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 + 6 (- 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.10

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} - 12 \cdot - 2 - 12 (2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.12

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} + 24 - 12 (2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} + 24 - 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.14

Addiere $- 56$ und $72$ .

$\frac{2 (16 + 40 \sqrt{2} - 48 \sqrt{2} + 24 - 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.15

Addiere $16$ und $24$ .

$\frac{2 (40 + 40 \sqrt{2} - 48 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.16

Subtrahiere $8$ von $40$ .

$\frac{2 (32 + 40 \sqrt{2} - 48 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.17

Subtrahiere $48 \sqrt{2}$ von $40 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 8 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.18

Subtrahiere $24 \sqrt{2}$ von $- 8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe ${(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2}$ als $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ um.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{((- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Multipliziere $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(- 2 (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 8 + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.2

Addiere $4$ und $8$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(12 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3.3

Subtrahiere $4 \sqrt{2}$ von $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(12 - 8 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.4

Addiere $12$ und $4$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(16 - 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{16^{3} + 3 \cdot 16^{2} (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.1

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 16^{2} (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 256 (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 + 768 (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $768$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.6

Wende die Produktregel auf $- 8 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 ({(- 8)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.7

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{1}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.9

Multipliziere $48 (64 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.9.1

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 \cdot 128 + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.9.2

Mutltipliziere $48$ mit $128$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 9.4.1.10

Wende die Produktregel auf $- 8 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 + {(- 8)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Schritt 9.4.1.11

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 {\sqrt{2}}^{3}}$

Schritt 9.4.1.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{2^{3}}}$

Schritt 9.4.1.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{8}}$

Schritt 9.4.1.14

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.14.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 9.4.1.14.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.4.1.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 9.4.1.16

Mutltipliziere $2$ mit $- 512$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 1024 \sqrt{2}}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.1

Addiere $4096$ und $6144$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{10240 - 6144 \sqrt{2} - 1024 \sqrt{2}}$

Schritt 9.4.2.2

Subtrahiere $1024 \sqrt{2}$ von $- 6144 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{10240 - 7168 \sqrt{2}}$

Schritt 9.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10240$ heraus.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 - 7168 \sqrt{2}}$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 7168 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 + 2 (- 3584 \sqrt{2})}$

Schritt 9.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5120) + 2 (- 3584 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 (5120 - 3584 \sqrt{2})}$

Schritt 9.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 (5120 - 3584 \sqrt{2})}$

Schritt 9.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32 - 32 \sqrt{2}}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32 - 32 \sqrt{2}$ und $5120 - 3584 \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1

Faktorisiere $32$ aus $32$ heraus.

$\frac{32 (1) - 32 \sqrt{2}}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6.2

Faktorisiere $32$ aus $- 32 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{32 (1) + 32 (- \sqrt{2})}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6.3

Faktorisiere $32$ aus $32 (1) + 32 (- \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.4.1

Faktorisiere $32$ aus $5120$ heraus.

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 \cdot 160 - 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6.4.2

Faktorisiere $32$ aus $- 3584 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 \cdot 160 + 32 (- 112 \sqrt{2})}$

Schritt 9.6.4.3

Faktorisiere $32$ aus $32 (160) + 32 (- 112 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 (160 - 112 \sqrt{2})}$

Schritt 9.6.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 (160 - 112 \sqrt{2})}$

Schritt 9.6.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$

Schritt 9.7

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ mit $\frac{160 + 112 \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}} \cdot \frac{160 + 112 \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$

Schritt 9.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.8.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ mit $\frac{160 + 112 \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}{(160 - 112 \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}$

Schritt 9.8.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}{25600 + 17920 \sqrt{2} - 17920 \sqrt{2} - 12544 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.8.3

Vereinfache.

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}{512}$

Schritt 9.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $160 + 112 \sqrt{2}$ und $512$ .

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Schritt 9.8.4.1

Faktorisiere $16$ aus $(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{16 ((1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2}))}{512}$

Schritt 9.8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.8.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $512$ heraus.

$\frac{16 ((1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2}))}{16 (32)}$

Schritt 9.8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 ((1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2}))}{16 \cdot 32}$

Schritt 9.8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.9

Multipliziere $(1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (10 + 7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (10 + 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (10 + 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 10 - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.10.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{10 + 1 (7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 10 - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.10.1.2

Mutltipliziere $7 \sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 10 - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.10.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.10.1.4

Multipliziere $- \sqrt{2} (7 \sqrt{2})$ .

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Schritt 9.10.1.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2} \sqrt{2}}{32}$

Schritt 9.10.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.10.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{32}$

Schritt 9.10.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{32}$

Schritt 9.10.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{2}}{32}$

Schritt 9.10.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{32}$

Schritt 9.10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{32}$

Schritt 9.10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Schritt 9.10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Schritt 9.10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{1}}{32}$

Schritt 9.10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2}{32}$

Schritt 9.10.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 14}{32}$

Schritt 9.10.2

Subtrahiere $14$ von $10$ .

$\frac{- 4 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 9.10.3

Subtrahiere $10 \sqrt{2}$ von $7 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 - 3 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 9.11

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{- 1 (4) - 3 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 9.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (4) - (3 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (3 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (4 + 3 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 9.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 + 3 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 10

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2}{{(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{0 + 2 \sqrt{2}}{{(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Schritt 11.2.1.2

Addiere $0$ und $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Schreibe ${(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2}$ als $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ um.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.2

Multipliziere $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{- 2 (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 11.2.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.2.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Schritt 11.2.2.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 8 + 4}$

Schritt 11.2.2.3.2

Addiere $4$ und $8$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{12 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4}$

Schritt 11.2.2.3.3

Subtrahiere $4 \sqrt{2}$ von $- 4 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{12 - 8 \sqrt{2} + 4}$

Schritt 11.2.2.4

Addiere $12$ und $4$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{16 - 8 \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16 - 8 \sqrt{2}$ .

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Schritt 11.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{16 - 8 \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8 - 8 \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8 + 2 (- 4 \sqrt{2})}$

Schritt 11.2.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8) + 2 (- 4 \sqrt{2})$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 (8 - 4 \sqrt{2})}$

Schritt 11.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 (8 - 4 \sqrt{2})}$

Schritt 11.2.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{8 + 4 \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{8 + 4 \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})}{(8 - 4 \sqrt{2}) (8 + 4 \sqrt{2})}$

Schritt 11.2.5.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})}{64 + 32 \sqrt{2} - 32 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 11.2.5.3

Vereinfache.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 11.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + 4 \sqrt{2}$ und $32$ .

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Schritt 11.2.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{4 (\sqrt{2} (2 + \sqrt{2}))}{32}$

Schritt 11.2.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.5.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{4 (\sqrt{2} (2 + \sqrt{2}))}{4 (8)}$

Schritt 11.2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{4 (\sqrt{2} (2 + \sqrt{2}))}{4 \cdot 8}$

Schritt 11.2.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{8}$

Schritt 11.2.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Schritt 11.2.5.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Schritt 11.2.5.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Schritt 11.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{8}$

Schritt 11.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{8}$

Schritt 11.2.6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{8}$

Schritt 11.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $8$ .

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Schritt 11.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{8}$

Schritt 11.2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1)}{8}$

Schritt 11.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{8}$

Schritt 11.2.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (4)}$

Schritt 11.2.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.2.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$

Schritt 11.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 ({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.2

Multipliziere ${(- 2)}^{2}$ mit $- 2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.2.2.1

Bewege $- 2$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 (- 2 {(- 2)}^{2}) \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 13.1.2.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}) \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{1 + 2} \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{3} \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 \cdot - 8 \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.6

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.7

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.1.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{1}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.9

Multipliziere $- 6 (4 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.2.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 \cdot 8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.9.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $8$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.10

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.11

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{2^{3}} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{8} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.14

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{4 (2)} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.14.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 (2 \sqrt{2}) + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.3

Subtrahiere $48$ von $- 8$ .

$\frac{2 (- 56 - 24 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.4

Subtrahiere $16 \sqrt{2}$ von $- 24 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.5

Schreibe ${(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2}$ als $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ um.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 ((- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.6

Multipliziere $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.7.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 13.1.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.1.7.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.7.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 8) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.2

Addiere $4$ und $8$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (12 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.3

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (12 + 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 \cdot 12 + 6 (8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $12$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 6 (8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.10

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} - 12 \cdot - 2 - 12 (- 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.12

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} + 24 - 12 (- 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.13

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} + 24 + 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.14

Addiere $- 56$ und $72$ .

$\frac{2 (16 - 40 \sqrt{2} + 48 \sqrt{2} + 24 + 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.15

Addiere $16$ und $24$ .

$\frac{2 (40 - 40 \sqrt{2} + 48 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.16

Subtrahiere $8$ von $40$ .

$\frac{2 (32 - 40 \sqrt{2} + 48 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.17

Addiere $- 40 \sqrt{2}$ und $48 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 8 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.1.18

Addiere $8 \sqrt{2}$ und $24 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Schreibe ${(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2}$ als $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ um.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{((- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.2

Multipliziere $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(- 2 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 13.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 8 + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.2

Addiere $4$ und $8$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(12 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.3.3

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(12 + 8 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 13.2.4

Addiere $12$ und $4$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(16 + 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{16^{3} + 3 \cdot 16^{2} (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.4.1.1

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 16^{2} (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 256 (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 768 (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $768$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.6

Wende die Produktregel auf $8 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (8^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.7

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {\sqrt{2}}^{2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.4.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{1}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.9

Multipliziere $48 (64 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1.9.1

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 \cdot 128 + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.9.2

Mutltipliziere $48$ mit $128$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Schritt 13.4.1.10

Wende die Produktregel auf $8 \sqrt{2}$ an.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Schritt 13.4.1.11

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 {\sqrt{2}}^{3}}$

Schritt 13.4.1.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{2^{3}}}$

Schritt 13.4.1.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{8}}$

Schritt 13.4.1.14

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1.14.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 13.4.1.14.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.4.1.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 13.4.1.16

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 1024 \sqrt{2}}$

Schritt 13.4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.2.1

Addiere $4096$ und $6144$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{10240 + 6144 \sqrt{2} + 1024 \sqrt{2}}$

Schritt 13.4.2.2

Addiere $6144 \sqrt{2}$ und $1024 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{10240 + 7168 \sqrt{2}}$

Schritt 13.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10240$ heraus.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 + 7168 \sqrt{2}}$

Schritt 13.5.2

Faktorisiere $2$ aus $7168 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 + 2 (3584 \sqrt{2})}$

Schritt 13.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5120) + 2 (3584 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 (5120 + 3584 \sqrt{2})}$

Schritt 13.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 (5120 + 3584 \sqrt{2})}$

Schritt 13.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32 + 32 \sqrt{2}}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 13.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32 + 32 \sqrt{2}$ und $5120 + 3584 \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.6.1

Faktorisiere $32$ aus $32$ heraus.

$\frac{32 \cdot 1 + 32 \sqrt{2}}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 13.6.2

Faktorisiere $32$ aus $32 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{32 \cdot 1 + 32 (\sqrt{2})}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 13.6.3

Faktorisiere $32$ aus $32 \cdot 1 + 32 (\sqrt{2})$ heraus.

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 13.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.6.4.1

Faktorisiere $32$ aus $5120$ heraus.

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160) + 3584 \sqrt{2}}$

Schritt 13.6.4.2

Faktorisiere $32$ aus $3584 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160) + 32 (112 \sqrt{2})}$

Schritt 13.6.4.3

Faktorisiere $32$ aus $32 (160) + 32 (112 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160 + 112 \sqrt{2})}$

Schritt 13.6.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160 + 112 \sqrt{2})}$

Schritt 13.6.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$

Schritt 13.7

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ mit $\frac{160 - 112 \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}} \cdot \frac{160 - 112 \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$

Schritt 13.8

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.8.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ mit $\frac{160 - 112 \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}{(160 + 112 \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}$

Schritt 13.8.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}{25600 - 17920 \sqrt{2} + 17920 \sqrt{2} - 12544 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 13.8.3

Vereinfache.

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}{512}$

Schritt 13.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $160 - 112 \sqrt{2}$ und $512$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.8.4.1

Faktorisiere $16$ aus $(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{16 ((1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2}))}{512}$

Schritt 13.8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.8.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $512$ heraus.

$\frac{16 ((1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2}))}{16 (32)}$

Schritt 13.8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 ((1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2}))}{16 \cdot 32}$

Schritt 13.8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.9

Multipliziere $(1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (10 - 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (10 - 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (- 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (10 - 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (- 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 10 + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.10.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{10 + 1 (- 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 10 + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.10.1.2

Mutltipliziere $- 7 \sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 10 + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.10.1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.10.1.4

Multipliziere $\sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.10.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.10.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{32}$

Schritt 13.10.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{32}$

Schritt 13.10.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{2}}{32}$

Schritt 13.10.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{32}$

Schritt 13.10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{32}$

Schritt 13.10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Schritt 13.10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Schritt 13.10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{1}}{32}$

Schritt 13.10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2}{32}$

Schritt 13.10.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 14}{32}$

Schritt 13.10.2

Subtrahiere $14$ von $10$ .

$\frac{- 4 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 13.10.3

Addiere $- 7 \sqrt{2}$ und $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 + 3 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 13.11

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{- 1 (4) + 3 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 13.12

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (4) - (- 3 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (- 3 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (4 - 3 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 13.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 - 3 \sqrt{2}}{32}$

Schritt 14

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{(- 2 - 2 \sqrt{2}) + 2}{{(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{0 - 2 \sqrt{2}}{{(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Schritt 15.2.1.2

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $0$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{{(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Schreibe ${(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2}$ als $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ um.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.2

Multipliziere $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 2 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Schritt 15.2.2.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 8 + 4}$

Schritt 15.2.2.3.2

Addiere $4$ und $8$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{12 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4}$

Schritt 15.2.2.3.3

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $4 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{12 + 8 \sqrt{2} + 4}$

Schritt 15.2.2.4

Addiere $12$ und $4$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{16 + 8 \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $16 + 8 \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{16 + 8 \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8) + 8 \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8) + 2 (4 \sqrt{2})}$

Schritt 15.2.3.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8) + 2 (4 \sqrt{2})$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8 + 4 \sqrt{2})}$

Schritt 15.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8 + 4 \sqrt{2})}$

Schritt 15.2.3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{8 - 4 \sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - (\frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}})$

Schritt 15.2.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{8 - 4 \sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})}{(8 + 4 \sqrt{2}) (8 - 4 \sqrt{2})}$

Schritt 15.2.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})}{64 - 32 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 15.2.7

Vereinfache.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})}{32}$

Schritt 15.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 4 \sqrt{2}$ und $32$ .

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Schritt 15.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{4 (\sqrt{2} (2 - \sqrt{2}))}{32}$

Schritt 15.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{4 (\sqrt{2} (2 - \sqrt{2}))}{4 (8)}$

Schritt 15.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{4 (\sqrt{2} (2 - \sqrt{2}))}{4 \cdot 8}$

Schritt 15.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 15.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 15.2.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 15.2.11

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 15.2.11.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8}$

Schritt 15.2.11.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8}$

Schritt 15.2.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Schritt 15.2.11.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 15.2.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.12.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.2.12.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Schritt 15.2.12.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Schritt 15.2.12.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 15.2.12.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.12.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 15.2.12.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{8}$

Schritt 15.2.12.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{8}$

Schritt 15.2.12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{8}$

Schritt 15.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} - 2$ und $8$ .

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Schritt 15.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{8}$

Schritt 15.2.13.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)}{8}$

Schritt 15.2.13.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{8}$

Schritt 15.2.13.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.13.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (4)}$

Schritt 15.2.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 4}$

Schritt 15.2.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$

Schritt 15.2.14

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ .

$(- 2 + 2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2} + 1}{4})$ ist ein lokales Maximum

$(- 2 - 2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2} - 1}{4})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17