Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - x - 2$ und $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.9

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.11

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.12

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.13

Schreibe $- 1 {(x - 5)}^{2}$ als $- {(x - 5)}^{2}$ um.

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.14

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.17

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.17.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.18

Faktorisiere $x - 5$ aus $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ heraus.

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Schritt 1.2.18.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $- {(x - 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.18.2

Faktorisiere $x - 5$ aus $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.18.3

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.19.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ und $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.2.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere ${(x - 5)}^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere ${(x - 5)}^{2}$ aus ${(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere ${(x - 5)}^{2}$ aus ${(x - 5)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere ${(x - 5)}^{2}$ aus $- 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere ${(x - 5)}^{2}$ aus ${(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere ${(x - 5)}^{2}$ aus ${(x - 5)}^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.8

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9)}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 3 \cdot 9}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 5 - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.2.3

Subtrahiere $27$ von $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x - 32$ heraus.

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Schritt 2.10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x) - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (- 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (- 16)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.5

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (16)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.7

Schreibe $- (x + 16)$ als $- 1 (x + 16)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.9

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.11

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.12

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.13

Schreibe $- 1 {(x - 5)}^{2}$ als $- {(x - 5)}^{2}$ um.

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.14

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.17

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.17.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.18

Faktorisiere $x - 5$ aus $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ heraus.

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Schritt 4.1.2.18.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $- {(x - 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.18.2

Faktorisiere $x - 5$ aus $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.18.3

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.19.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 4.1.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4.3.4

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4.3.5

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Schritt 4.1.4.3.6

Addiere $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 9 = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 5)}^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 9$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 9$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 ((- 9) + 16)}{{((- 9) - 5)}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Addiere $- 9$ und $16$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 9 - 5)}^{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $5$ von $- 9$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 14)}^{4}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $- 14$ mit $4$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{38416}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \frac{14}{38416}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $38416$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $14$ aus $14$ heraus.

$- \frac{14 (1)}{38416}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $14$ aus $38416$ heraus.

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2744}$

Schritt 10

$x = - 9$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 9$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 9$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- (- 9) - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{9 - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Schritt 11.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Schritt 11.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{(- 14)}^{2}} + 9$

Schritt 11.2.2.1.2

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$f (- 9) = \frac{7}{196} + 9$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7$ und $196$ .

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Schritt 11.2.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f (- 9) = \frac{7 (1)}{196} + 9$

Schritt 11.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $196$ heraus.

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Schritt 11.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Schritt 11.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9$

Schritt 11.2.3

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9 \cdot \frac{28}{28}$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $9$ und $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + \frac{9 \cdot 28}{28}$

Schritt 11.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 9) = \frac{1 + 9 \cdot 28}{28}$

Schritt 11.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $28$ .

$f (- 9) = \frac{1 + 252}{28}$

Schritt 11.2.6.2

Addiere $1$ und $252$ .

$f (- 9) = \frac{253}{28}$

Schritt 11.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{253}{28}$ .

$y = \frac{253}{28}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ .

$(- 9, \frac{253}{28})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13